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「エンターテインメントの極み」管理人の日記です。

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2018-10-16-Tue 00:13:55 │EDIT
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2007-11-04-Sun 18:00:44 │EDIT


問題

上図において、次の条件で定まる△BEFの面積を求めよ。
1.四角形ABCDは長方形
2.△ABE≡△IBE
3.H´H⊥BC
4.GH´:H´A=1:2
5.IH=2



解答



GH´:H´A=1:2 より AB=3IH´
AB=H´I + IH より 3IH´=IH´ + IH
2IH´=IH =2。 よって IH´=1 AB=3。

IH´´⊥ABとなるAB上の点H´´をとる。
このとき、△ABE≡△IBEより AB=IB なので IB=3 H´´B=IH=2。

∠ABE=∠EBI=αとする。



△IH´´Bにおいて
三平方の定理より IB2=BH´´2+IH´´2
9=4 + IH´´2   IH´´2=5  IH´´>0より  IH´´=√5 となる。

また、余弦定理より
IH´´2=IB2+BH´´2 -2IB・BH´´cos2α
5=9+4-12cos2α  12cos2α=8  cos2α= 2/3 

加法定理より
cos2α=2cos2α -1   2/3 =2cos2α -1  2cos2α= 5/3  cos2α= 5/6 

三角比の相互関係より
tan2α +1 = 1/cos2α  tan2α +1 = 5/6  tan2α= 1/5



△ABEにおいて
AE/AB =tanα より AE=ABtanα
AE2=AB2tan2α  AE2=9・1/59/5



△ABE≡△IBEより  AE=EI。

△H´IEと△HIFにおいて ∠H´IE=∠HIF ∠IH´E=∠IHFなので
それぞれの2角が等しいことより △H´IE∽△HIF。
また、H´I:IH=1:2 より IF=2EI。
AE2=EI2  IF2=4EI2 より  IF2=4・9/536/5 。



△ABE≡△IBEより ∠EAB=∠EIB=90°
∠FIB=180°-∠EIB=180°-90°=90°

△BIFにおいて
三平方の定理より
FB2=IB2+IF2=9+ 36/5 = 81/5 。  FB>0より FB= 9√5 



△BEFにおいて
面積は 1/2 ・AB・FB であるから
1/2 ・3・ 9√5 = 272√5 = 27√510


答え 
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