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問題

上図において、次の条件で定まる△BEFの面積を求めよ。
１．四角形ABCDは長方形
２．△ABE≡△IBE
３．H´H⊥BC
４．GH´：H´A＝１：２
５．IH＝２

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解答



GH´：H´A＝1：2　より　AB＝3IH´
AB＝H´I + IH　より　3IH´＝IH´ + IH
2IH´＝IH ＝2。　よって IH´＝1　AB＝3。

IH´´⊥ABとなるAB上の点H´´をとる。
このとき、△ABE≡△IBEより　AB=IB　なので　IB＝3　H´´B＝IH＝2。

∠ABE＝∠EBI＝αとする。



△IH´´Bにおいて
三平方の定理より　IB²＝BH´´²+IH´´²
9＝4 + IH´´²   IH´´²＝5　　IH´´＞0より　 IH´´＝√5 となる。

また、余弦定理より
IH´´²＝IB²+BH´´² -2IB・BH´´cos2α
5＝9+4-12cos2α　　12cos2α＝8　　cos2α＝ ²/₃。

加法定理より
cos2α＝2cos²α -1　　　²/₃ ＝2cos²α -1　　2cos²α＝ ⁵/₃　　cos²α＝ ⁵/₆。

三角比の相互関係より
tan²α +1 ＝　１／cos²α　　tan²α +1 ＝ ⁵/₆　　tan²α＝ ¹/₅ 。



△ABEにおいて
AE／AB ＝tanα より　AE＝ABtanα
AE²＝AB²tan²α　　AE²＝9・¹/₅ ＝ ⁹/₅ 。



△ABE≡△IBEより  AE=EI。

△H´IEと△HIFにおいて　∠H´IE＝∠HIF　∠IH´E＝∠IHFなので
それぞれの２角が等しいことより　△H´IE∽△HIF。
また、H´I：IH＝1：2 より　IF＝2EI。
AE²＝EI²　　IF²＝4EI²　より　　IF²＝4・⁹/₅＝ ³⁶/₅　。



△ABE≡△IBEより　∠EAB＝∠EIB＝90°
∠FIB＝180°-∠EIB＝180°-90°＝90°

△BIFにおいて
三平方の定理より
FB²＝IB²+IF²＝9+ ³⁶/₅　＝ ⁸¹/₅ 。　　FB＞0より　FB＝　⁹／_√5。



△BEFにおいて
面積は　¹/₂ ・AB・FB　であるから
¹/₂ ・3・ ⁹／_√5 ＝　²⁷／_2√5 ＝　^27√5／₁₀ 。


^答え